Mapas de karnaugh

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas.

El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden fácilmente realizar a mano con funciones de hasta 6 variables, para funciones de mayor cantidad de variables es más eficiente el uso de software especializado.

EJEMPLOS DE EL MAPA DE KARNAUGHT:

Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables. Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a “1”. Si A en la tabla de verdad es “0” se pone A, si B = “1” se pone B, Si C = “0” se pone C, etc.

Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh. Este tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A, B, C)). Ver el diagrama arriba. La primera fila corresponde a A = 0 La segunda fila corresponde a A = 1 La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0).

La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1) La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1) La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

En el mapa de Karnaugh se han puesto “1” en las casillas que corresponden a los valores de F = “1” en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh.

Para proceder con la simplificación, se crean grupos de “1”s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2). Los “1”s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más “1”s tenga el grupo, mejor. La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de “1”s en cada grupo

Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro “1”s, (se permite compartir casillas entre los grupos). La nueva expresión de la función boolena simplificada se deduce del mapa de Karnaugh.

PREGUNTAS:

¿Que es un mapa de Karnaugh?
Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos. 

¿Cuando se invento el Mapa de karnaugh?
El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

¿En que consiste el Mapa de Karnaugh?
El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar.

¿Como se ordenan las variables de la expresión?
Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. 

¿Cuando se utiliza un Mapa de Karnaugh?
Los diagramas de Karnaugh pueden ser utilizados en la simplificación de sentencias definidas en lógica Booleana, construcción de estaciones de clasificación, selección y control de calidad de piezas fabricadas, entre otras aplicaciones.

¿Con que otro nombre se conoce a los Mapas de Karnaugh?
También conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV.

¿Como se representa el numero de renglones y columnas de un Mapa de Karnaugh? 
El número de renglones y columnas de un mapa de Karnaugh normalmente suele representarse como un mapa cuadrado (número de renglones = número de columnas) cuando el número de variables es par (2, 4, 6, 8... etc) y cuando el número de variables es impar el número de renglones igual a la mitad del número de columnas.

Menciona un software disponible para asistir el mapeo de Karnaugh
Gorgeus Karnaugh K-Mapas minimización programa 

¿Cuales son las ventajas de usar el Mapa de Karnaugh?
Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas.

¿Cómo se realizan las tablas de Karnaugh?
Las tablas de Karnaugh se pueden fácilmente realizar a mano con funciones de hasta 6 variables, para funciones de mayor cantidad de variables es más eficiente el uso de software especializado.

Técnicas del conteo

tecnias de conteo 

diagrama de arbol
permutaciones
variaciones
combinaciones

Se llama permutaciones de n elementos a los diferentes grupos que se pueden formar con esos elementos siguiendo las siguientes reglas:

• entran todos los elementos
• si importa el orden
• no se repiten los elementos 

si el ejercicio que se plantea sigue esas 3 reglas la formula a aplicar es "permutacion de n=n factorial"
Pn=n!

donde n es el numero de elementos que van a participar en las agrupaciones.

EJERCICIOS 

cuantos numero de 3 cigras diferentes se pueden formar con los digitos uno, dos, tres.

P3=3!=3*2*1=6

123/132/231/213/312/321

cuantos grupos diferentes de 3 vocales se pueden formar sin que se repitan los elementos usandfo los siguientes vocales: a,e,o.

P3=3!=3*2*1=6

a,e,o/a,o,e/,eo,a/e,a,o/o,a,e/,o,e,a.

cuantos grupos de 4 elementos se pueden formar con los digitos 3,5,7 y 9. si no se repiten los elementos 

P4=4=4*3*2*1=24

3579/3759/3597/3795/3957/3975
5379/5397/5937/5973/2739/2793
7359/7395/7935/7953/7593/7539
9357/9375/9573/9537/9753/9735

Antiguamente los barcos se comunicaban entre si utilizando banderas de diferentes colores colocandolas de manera ordenada en diferentes posiciones. cuantos porcentajes ddistintos se podran enviar con las banderas en los colores azul, rojo, verde y negro. indique cuantos mensajes serian si e le añade otra bandera en color cafe en este caso no deberan mostrrse las agrupaciones.

p4=4!=4*3*2*1=24 mensajes

p5=5!=5*4*3*2*1=120 mensajes

PERMUTACIONES CON REPETICION 

Se le llama a los distintos grupos de elementos que se forman usando n elementos donde el primer elemento se repite n veces, el segundo tambien se repite n veces y asi consecurtivamente hasta llegar al final de la lista. Estas agrupaciones deben seguir las siguientes reglas:

• entran todos los elementos
• si importa el orden
• si se repiten los elementos 

la formula para realizar el calculo de las permutaciones con repeticion es la siguiente:

PRn=Pn/a!b!c!

EJERCICIOS 

con las cifras 222333344 ¿cuantos numero de 9 cifras se pueden formar si los datos son: n=9 a=3, b=4, c=2

PR9= P9/ 3!4!2!= 9*8*7*6*5*4*3*2*1/ 3*2*1  4*3*2*1  2*1.

9*8*7*6*5/ 6*2= 15120/12= 1260.

PRMUTACIONES CIRCULARES

se utilizan cuando los elementos  se van a ordenar en circulo, por ejemplo, los comonsales en una mesa de mudo que el primer elementoque esta en la mesa determina el principio y el fin de la lista.

La formula es para la permutacion:

PCn-1=n!

De cuantas formas distintas pueden centrarse 8 personas el rededor de una mesaredonda
PC7=7!
PC7=7*6*5*4*3*2*1=5070

Principios fundamentales del conteo

La enumeracion o conteo puede parecer un proceso obvio que un estudiante aprende al estudiar aritmetica por primera vez.
Pero luego seun parece se presta por la atencion en lo que se refiere aun desarrollo mas amplio del conteo conforme el estudiante pasa mas dificiles de los matematicos, como la algebra, la geometria, la trigonometria, el calculo. En consecuencia debera servir como advertencia acerca de un conteo.

La enumeracion no termina con la aridemtica. Tambien tiene aplicaciones en areas como la teoria de codigos, la posibilidad y estadisticas de la suma del producto.

Reglas de la suma del producto 

1.- Si una primera tarea puede realizarse de m formas muientras que una seguna tarea puede realizarse de n formas y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea entonces para llevar a cabo cualquier de ella, puede utilizarse cualquiera de ellas.

2.- Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas de primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa, para cada uno de estos resultados exiten n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar ordenado.

PREGUNTAS:

¿Qué son las Técnicas de Conteo?
Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos.

¿Cuando se usan las Técnicas de Conteo?
Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables.

Menciona las Técnicas de Conteo que conozcas.
Diagrama de árbol, permutaciones, combinaciones, variaciones.

¿Que es un Diagrama de Árbol?
Un diagrama de árbol o árbol de probabilidad es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de planta.

¿Que son las Permutaciones?
Se llama permutaciones de "n" elementos a los diferentes grupos que se pueden formar con esos elementos, siguiendo las siguientes reglas.
Entran todos los elementos.
Si importa el orden.
No se repitan los elementos.
¿Que son las Variaciones?
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m = n) a los distintos grupos formados por n elementos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, de forma que: – No entran todos los elementos.

¿Qué son las combinaciones?
Una combinación es una selección de elementos de una colección, de manera que el orden de selección no importa.

¿Que es una Permutación con Repetición?
Se llama permutaciones con repetición a los grupos de elementos que se forman cuando "n" elementos,donde e primer elemento se repite n veces, el segundo también se repite n veces y así se repiten hasta llegar al final de la lista. Estas agrupaciones deben seguir las siguientes reglas;
Entran todos los elementos.
Si importa el orden.
Si se repiten los elementos.
¿Cuando se utiliza una Permutación Circular?
Las permutaciones circulares se utilizan cuando los elementos se van a ordenar en circulo.

¿Cual es la formula para una Permutacion Circular?
La formula  para la permutacion circular es PC n-1=n!

Teoria de conjuntos, logica matematica y algebra booleana

TEORIA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1​
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

LOGICA MATEMATICA

La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística,1​ es el estudio matemático de la lógica y su aplicación a otras áreas de la matemática y la ciencia. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática estudia la inferencia mediante la construcción de sistemas formales como la lógica proposicional, la lógica de primer orden o la lógica modal. Estos sistemas capturan las características esenciales de las inferencias válidas en los lenguajes naturales, pero al ser estructuras formales susceptibles de análisis matemático, permiten realizar demostraciones rigurosas sobre ellas.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la computabilidad. La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamento de la lógica matemática. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a partir del teorema de Cantor, el axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación. La teoría de la computabilidad captura la idea de la computación en términos lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en día, la teoría de la computabilidad se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad.

ALGEBRA BOOLEANA

Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.

El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital.

Por lo tanto, también se llama como "Cambio de álgebra". Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como "Leyes del álgebra de Boole".

También podemos hacer los cálculos y las operaciones lógicas de los circuitos aún más rápido siguiendo algunos teoremas, que se conocen como "Teoremas del álgebra de Boole". Una función booleana es una función que representa la relación entre la entrada y la salida de un circuito lógico.

La lógica booleana solo permite dos estados del circuito, como True y False. Estos dos estados están representados por 1 y 0, donde 1 representa el estado "Verdadero" y 0 representa el estado "Falso".

Lo más importante para recordar en el álgebra de Boole es que es muy diferente al álgebra matemática regular y sus métodos. Antes de aprender sobre el álgebra de Boole, vamos a contar  un poco sobre la historia del álgebra de Boole y su invención y desarrollo.

Preguntas:

¿Que es un conjunto?
Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

¿Qué es un subconjunto?
Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.

¿Qué es el Diagrama de Venn?
Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos.

¿Para que se utiliza el Diagrama de Venn?
Se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos.

¿En que áreas se utilizan los Diagramas de Venn?
Se usan amplia mente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios.

¿Cuando se creó el Diagrama de Venn?
Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

¿Que es la Ley Distributiva?
En matemáticas y en particular en álgebra abstracta, la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.

¿Qué es la Ley de Morgan?
En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas.

¿Qué es la Diferencia Simétrica?
En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.

¿Cómo se denota la "Diferencia Simétrica" de conjuntos?
La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

DEFINICIONES

 Unión: En las matemáticas, no podemos definir a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o parentesis. ({,}).
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.

Intersección: El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa.
:Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.
Un elemento x pertenece a la coincidencia de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B, por lo tanto {\displaystyle A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}}

Disjuntividad: Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto vacío. A ∩ B= {\emptyset}
Ejemplos

    Ejemplo: La coincidencia del conjunto de números pares y el conjunto de números impares sería el conjunto C={\emptyset} o sea serían disjuntos.
    Ejemplo: La coincidencia del conjunto de personas que juegan a baloncesto y el conjunto de personas que juegan a fútbol es el conjunto vacío, osea serían disjuntos.
    Ejemplo: La coincidencia de A={3,7,8} y B={1,2,9} sería C={\emptyset}, ya que {3,7,8}∩{1,2,9}={\emptyset} por lo tanto A y B son disjuntos.

Ley de morgan: Teniendo presentes estas definiciones quizás sea entonces mucho más sencillo comprender el sentido de cada una de estas relaciones de Unión e Intersección de conjuntos, que se dan en base al Conjunto complementario, y que pueden ser descritas a su vez de la siguiente forma:
Ley de Morgan con respecto a la Unión
Esta Ley o propiedad matemática, según lo que indican las diferentes fuentes de Álgebra de Conjuntos, señala que siempre y en todo caso, el conjunto complementario de la Unión de dos conjuntos resulta ser equivalente a la intersección que puede ocurrir entre cada uno de los conjuntos complementarios de estos. Igualmente, esta propiedad o Ley de Morgan puede ser expresada matemáticamente de la siguiente forma:

    (A ∪ B)∁ =  A∁ ∩ B∁

Diferencia: El símbolo de esta operación es: \.
La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.
También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A.
Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si {\displaystyle \{x/x\in A\land x\not \in B\}}
Ejemplos

    Ejemplo: La diferencia de los conjuntos {1,2,3,4} y {1,3,5,7} es el conjunto {2,4}, sin embargo la diferencia de los conjuntos {1,3,5,7} y {1,2,3,4} es el conjunto {5,7}.
    Ejemplo: La diferencia del conjunto de las personas que juegan al fútbol y el conjunto de las personas que juegan a baloncesto es el conjunto de las personas que solo y exclusivamente juegan al fútbol.


Diferencia simétrica: El símbolo de esta operación es: Δ.
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene

    Ejemplo: La diferencia simétrica del conjunto de personas que juegan a fútbol y el conjunto de personas que juegan a baloncesto es el conjunto de personas que juegan sólo a fútbol y sólo a baloncesto, pero no que jueguen a ambos a la vez.

TEORIA DE CONJUNTOS

 3 conceptos de conjuntos

1.- es lo que esta unido, contiguo o incorporado a otra cosa, o que se encuentra mezclado, combinado o aliado con otra cosa diversa. Un conjunto, por lo tanto, es un agregado de varias cosas o personas.

2.- Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto.

3.- Es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas.

3 conceptos de subconjuntos

1.-es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas.

2.- Conjunto de elementos que tienen las mismas caracteristicas y que esta incluido dentro de otro conjunto mas amplio.

3.-  Un conjunto S es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B. La notacion A<B se lee "A es subconjunto de B". la noatacion a B se lee "A no es subconjunto de B".

2 definiciones de teoria de venn

1.- Diagrama consistente en dos o mas areas circulares que representan sendos conjuntos (totalidad de elementos que tienen una caracteristica comun) que se interseccionan y que comparten los subconjuntos representados por las areas comunes.

2.- Usa circulos que se superponen u otras figuras para ilusionar las relaciones logicas entre dos o mas conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma grafica, destacando en que se parecen y difieren los elementos.

3 ejemplos de teoria de venn

1.-  Ponemos 2 bolas en la zona inter, que son los que tiene tanto perros como gatos.

2.-  Si 5 personas tiene perros, y ya sabemos que 2 tienen tanto perros como gatos, podemos hacer la resta para saber los que tienen perros: a=5-2=3.

3.-conjunto de multiplos de 5 en el qiue se aisla en su interior, mediante una elipse, a aquellos que son multiplos de 10.

TORRES DE HANOI

¿QUE SON LAS TORRES DE HANOI?

El rompecabezas de la Torre de Hanoi fue inventado por el matemático francés Edouard Lucas en 1883. Se inspiró en una leyenda acerca de un templo hindú donde el rompecabezas fue presentado a los jóvenes sacerdotes. Al principio de los tiempos, a los sacerdotes se les dieron tres postes y una pila de 64 discos de oro, cada disco un poco más pequeño que el de debajo. Su misión era transferir los 64 discos de uno de los tres postes a otro, con dos limitaciones importantes. Sólo podían mover un disco a la vez, y nunca podían colocar un disco más grande encima de uno más pequeño. Los sacerdotes trabajaban muy eficientemente, día y noche, moviendo un disco cada segundo. Cuando terminaran su trabajo, dice la leyenda, el templo se desmenuzaría en polvo y el mundo se desvanecería. Aunque la leyenda es interesante, usted no tiene que preocuparse de que el final del mundo ocurra pronto en cualquier momento. El número de movimientos necesarios para mover correctamente una torre de 64 discos es 264−1=18,446,744,073,709,551,615. A una velocidad de un movimiento por segundo, ¡eso sería 584,942,417,355 años! Claramente hay algo más en este rompecabezas de lo que parece.

¿COMO ES EL ALGORTIMO PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LAS TORRES DE HANOI?

def moverTorre(altura,origen, destino, intermedio):
 if altura >= 1:
 moverTorre(altura-1,origen,intermedio,destino)
 moverDisco(origen,destino)
 moverTorre(altura-1,intermedio,destino,origen)

 def moverDisco(desde,hacia):
 print("mover disco de",desde,"a",hacia)
 moverTorre(3,"A","B","C")

LAS TORRES SON DE PERMUTACION O COMBINACION SU RESOUCION 

Son permutaciones

PREGUNTAS:

¿Qué son las Torres de Hanoi?
La Torres de Hanoi es un rompecabezas o juego matemático.

¿Cuándo se inventaron las Torres de Hanoi?
Fue inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas.

¿En que consiste este juego?
Este juego de mesa individual consiste en un número de discos perforados de radio creciente que se apilan insertándose en uno de los tres postes fijados a un tablero.

¿Cuál es el objetivo del juego?
El objetivo del juego es trasladar la pila a otro de los postes siguiendo ciertas reglas. El problema es muy conocido en la ciencia de la computación y aparece en muchos libros de texto como introducción a la teoría de algoritmos.

¿Cual es la formula para el juego?
La fórmula para encontrar el número de movimientos necesarios para transferir n discos desde un poste a otro es: 2n - 1

¿Cómo es el algoritmo para resolver el problema de las Torres de Hanoi?
La solución del problema de las Torres de Hanói es muy fácil de hallar, aunque el número de pasos para resolver el problema crece exponencialmente conforme aumenta el número de discos.Como ya se ha indicado, el número mínimo de movimientos necesarios para resolver un rompecabezas de la Torre de Hanoi es 2n - 1, donde n es la cantidad de discos.

Una manera sencilla para saber si es posible terminar el "juego" es que si la cantidad de discos es impar la pieza inicial ira a destino y si es par a auxiliar.

¿Mediante que procesos se puede resolver el problema de las Torres de Hanoi?
-Solución Simple
-Mediante recursividad
-Iterativa

¿En qué consiste "La solución Simple"?
El disco 2.o n-1 se debe mover, por regla, a la varilla destino. Luego, el disco n.o 1 se mueve también a la varilla destino para que quede sobre el disco n.o 2. A continuación, se mueve el disco que sigue de la varilla origen, en este caso el disco n.o 3, y se coloca en la varilla auxiliar. Finalmente, el disco n.o 1 regresa de la varilla destino a la origen (sin pasar por la auxiliar), y así sucesivamente. Es decir, el truco está en el disco más pequeño.

¿En qué consiste la solución "Mediante Recursividad"?
Si numeramos los discos desde 1 hasta n, si llamamos origen a la primera pila de discos, destino a la tercera y auxiliar a la intermedia, y si a la función la denomináramos hanoi, con origen, auxiliar y destino como parámetros, el algoritmo de la función sería el siguiente:

El número de movimientos mínimo a realizar para resolver el problema de este modo es de 2n – 1, siendo n el número de discos.

¿En qué consiste la solución "Iterativa"?
Se basa en el hecho de que para obtener la solución más corta, es necesario mover el disco más pequeño en todos los pasos impares, mientras que en los pasos pares solo existe un movimiento posible que no lo incluye.

SERIE FIBONACCI

¿QUE ES?

La sucesión de Fibonacci, en ocasiones también conocida como secuencia de Fibonacci o incorrectamente como serie de Fibonacci, es en sí una sucesión matemática infinita. Consta de una serie de números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Básicamente, la sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números (Todos los números presentes en la sucesión se llaman números de Fibonacci) de la siguiente manera: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34... Fácil, ¿no? (0+1=1 / 1+1=2 / 1+2=3 / 2+3=5 / 3+5=8 / 5+8=13 / 8+13=21 / 13+21=34...) Así sucesivamente, hasta el infinito. Por regla, la sucesión de Fibonacci se escribe así: xn = xn-1 + xn-2.

¿QUIEN LO CREO?

Bien, Fibonacci fue un matemático italiano del siglo XIII, el primero en describir esta sucesión matemática. También se lo conocía como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo y ya hablaba de la sucesión en el año 1202, cuando publicó su Liber abaci. Fibonacci era hijo de un comerciante y se crió viajando, en un medio en donde las matemáticas eran de gran importancia, despertando su interés en el cálculo de inmediato. Se dice que sus conocimientos en aritmética y matemáticas crecieron enormemente con los métodos hindúes y árabes que aprendió durante su estancia en el norte de África y luego de años de investigación, Fibonacci dió con interesantes avances. Algunos de sus aportes refieren a la geometría, la aritmética comercial y los números irracionales, además de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero.

¿COMO ES LA SERIE?

La sucesión comienza con los números 0 y 1,2​ y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define. A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco, en la configuración de las piñas de las coníferas, en la reproducción de los conejos y en cómo el ADN codifica el crecimiento de formas orgánicas complejas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus.

EJEMPLO:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597…

 A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. El nombre de sucesión de Fibonacci se lo debe a Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Esta sucesión no tendría nada de particular sino fuera porque aparace repetidamente en la naturaleza y, además, tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos, entre otras.

PREGUNTAS:

¿Que es la serie de Fibonacci?

En matemáticas la sucesión o serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

       

¿Cuando se creo la Serie de Fibonacci?

Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.

¿En qué ámbitos se aplica dicha serie?

Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. 

¿Cuál es la relación de la sucesión de Fibonacci?

La sucesión comienza con los números 0 y 1,​ y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

¿Cuál es la regla de la sucesión de Fibonacci?

 Por regla, la sucesión de Fibonacci se escribe así: xn = xn-1 + xn-2.

¿Cuáles son los métodos para calcular los números de Fibonacci?

-Función generadora

-Formula explicita 

-Por la función

¿En que consiste la "Función Generadora"?

Una función generadora para una sucesión cualquiera a0, a1, a2,… es la función f(X) = a0 + a1x + a2x2+…, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:

¿En qué consiste la "Formula Explicita"?

Esta manera de calcular los números de Fibonacci utiliza la expresión del número áureo:

¿Cómo se desarrolla el método"Por la Función"  para calcular los números de Fibonacci ?Partiendo de los números 0 y 1, los números de Fibonacci quedan definidos por la función

¿Cómo es la serie de Fibonacci?

Básicamente, la sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números (Todos los números presentes en la sucesión se llaman números de Fibonacci) de la siguiente manera:
                                                       0,1,1,2,3,5,8,13,21,34...